Bycie sobą

1. General Relativity: The Theoretical Minimum
2. Wykłady

Równanie ciągłości, zasada najmniejszego działania, stałe c i geometria Riemannowska dają razem ogólną teorię względności.

Po lewej stronie r-nia Einsteina mamy tensorowy zapis geometrii czasoprzestrzeni - tensor Einsteina, a po prawej tensor energii-pedu, opisujacy rozklad gestosci i przeplywu materii/energii i pedu. Przeplyw energii jest rownoznaczny z gestoscia pedu. "Materia mowi czasoprzestrzeni, jak sie ma zakrzywiac". Prawa strona mowi to lewej stronie, bo energia ksztaltuje geometrię. Tensor energii-pedu wyznacza tensor geometrii, ktora wynika z rozkladu energii. Oba tensory spelniaja równanie ciągłości. Materia/energia nie moze znikac lub sie pojawiac ani teleportowac (genialne tlumaczenie dla czastek wirtualnych - ale to tylko na chwile), wiec musi przeplywac przez czasoprzestrzen, ktora musi byc ciagla. W kazdym punkcie czasoprzestrzeni oba tensory przyjmuja konretne wartosci, wiec kazdy punkt jest opisywany przez wypelnioną konkretnymi wartosciami macierz tensora.

Tensor Einsteina opisujący geometrię zawiera tensor krzywizny Ricciego, skalar krzywizny Ricciego i tensor metryczny. Tensor Ricciego zawiera Christ Awful Symbols - macierze o nazwie symboli Christoffela, ich iloczyny i pochodne. Te z kolei składają się iloczynu tensora metrycznego i jego pochodnych. Skalar Ricciego to ślad tensora Ricciego. Tensor metryczny to podstawowy element symboli Christoffela, które są podstawowym elementem tensora Ricciego, więc cała geometria bazuje na tensorze metrycznym i jego pochodnych. Macierz tensora metrycznego jest zbudowana z iloczynów skalarnych wektorów bazowych lokalnego układu współrzędnych w konkretnym punkcie czasoprzestrzeni i jest przepisem na pomiar odległości który zaczynamy lub kończymy w tym punkcie lub jego najbliższej okolicy. Ponieważ na diagonali ma wyrazy opisujące skrócenie współrzędnych przestrzeni jak i dylatację czasu, jest dla mnie 4-ro wymiarową linijką czyli metryką do pomiaru tempa upływu czasu i zagęszczenia przestrzeni.

Do lewej strony dodajmy jeszcze niewielki ułamek tensora metrycznego...

Susskindowe wyprowadzenie r-nań Einsteina z zasady najmniejszego działania:

0. Zaczynamy od całki działania Einsteina-Hilberta. Wyrażenie podcałkowe jest funkcją tensora metrycznego, będącą iloczynem pierwiastka z jego wyznacznika i skalara Ricciego. Wynikiem całki jest niezmiennicza, taka sama we wszystkich układach objętość czasoprzestrzeni. Dopowiadam, że jest to objętość wypełniona ciągłym zbiorem niezmienniczych powierzchni, które się w niej zawierają.
1. Wyrażamy symbole Christoffela w funkcji tensora metrycznego i jego pierwszych pochodnych.
2. Wyrażamy tensor krzywizny Ricciego w funkcji symboli Christoffela, ich iloczynów oraz pierwszych pochodnych.
3. Wyznaczamy skalar krzywizny Ricciego, skracając tensor jego krzywizny poprzez obliczenie jego śladu.
4. Iloczyn skalara Ricciego i pierwiastka z wynacznika tensora metrycznego jest gęstościa Lagranżjanu. Lagranżjan w nierelatywistycznej mechanice klasycznej jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej. Jego kluczowym wyrazem w relatywistyce jest czynnik Lorentza, ktory bierze sie ze stalosci c. Tak samo wynika z niej interwał czasoprzestrzenny, który dla mnie jest ekwiwalentem niezmienniczej powierzchni. Jej pierwiastek to czas własny układu, który jest tak samo niezmienniczy. Jeśli odwrotność czynnika Lorentza rozwiniemy w szereg wokół v/c i zastosujemy przybliżenie dla małych prędkości, biorąc tylko dwa pierwsze wyrazy szeregu, to dostaniemy klasyczną różnicę energii kinetycznej i potencjalnej. Gęstość lagranżjanu to lagranżjan podzielony przez czasoprzestrzenną objętość czasoprzestrzeni. Całkując tą gęstość po tej objętości dostajemy działanie, które trzeba zminimalizować.
5. Minimalizujemy działanie poprzez rozwiązanie równań Eulera-Lagrange'a z opisaną gęstością lagranżjanu.

After a few hours of calculations, you will end up with Einstein field equations. - Uwierzyłem mu na słowo.